在无穷数的话题结束之前，我们必须指出，无穷数的增长速度极快，很快就会超越任何我们能想到的集合。我们知道，代表所有整数的数量，代表所有几何点的数量，代表曲线的所有种类，但截至目前，还没有任何人能找到可以记作的集合。看来前三个无穷数足以穷尽我们能想到的一切事物，所以我们现在的处境和那位有很多儿子却只能数到3的霍屯督老朋友正好相反！

[1]为了佐证这一点，我再讲个类似的故事：一群匈牙利贵族去阿尔卑斯山远足，结果迷了路。一位贵族拿出地图研究了半天，然后宣布：“现在我知道我们在哪儿了！”“在哪儿呀？”其他人问道。“看到前面那座大山了吗？现在我们就站在它的山顶上。”

[2]目前最大的望远镜能观测到的范围。

[3]截至2018年，可观测宇宙的原子总数量约为1080个，你可以看看这个数字比伽莫夫的时代又增长了多少倍。（译注）

[4]希腊距离单位1视距等于606英尺零6英寸，或者188米。

[5]如果用我们习惯的方法来表示的话，这个数应该是：一千万（10,000,000）×第二级单位（100,000,000）×第三级单位（100,000,000）×第四级单位（100,000,000）×第五级单位（100,000,000）×第六级单位（100,000,000）×第七级单位（100,000,000）×第八级单位（100,000,000），或者简单记作1063（也就是1后面63个0）。

[6]grandvizier，最高级的大臣，职权类似宰相。（译注）

[7]聪明的大维齐尔索要的麦粒数量可以表达为下面这个式子：1+2+22+23+24+……+262+263。在数学中，一连串以相同倍数（这个式子里的倍数是“2”）不断增长的数字被称为等比数列。我们可以证明，等比数列中所有数字之和等于公比（这里是2）的项数次幂（64）减去第一项（1），再除以公比减1，数学式如下：，最终答案是：18,446,744,073,709,551,615。

[8]蒲式耳（bushel）是英制容量及重量单位，1蒲式耳小麦=60磅（约27.22千克）。2018年，联合国粮农组织预报的世界小麦产量约为7.28亿吨，大约只需要一百五十年就能满足西萨·本的要求。（译注）

[9]W.W.R.鲍尔，《数学游戏与欣赏》（MathematicalRecreationandEssays，麦克米伦公司，纽约，1939）。

[10]如果需要移动的金片只有7张，那么总的移动次数等于：1+21+22+23+……，也就是271=2×2×2×2×2×2×21=127。如果你移动金片的速度很快，而且从不犯错，那么完成任务大约需要一个小时。但要是有64张金片，那么需要移动的总次数等于：2641=18,446,744,073,709,551,615。正好等于西萨·本·达希尔索要的麦粒数量。

[11]截至2018年，宇宙学主流观点认为，太阳系大约在46亿年前开始形成，系内行星形成的时间比太阳更晚一些；宇宙中的第一批恒星大约诞生于130多亿年前，此后也不断有恒星形成和死亡；恒星的寿命根据大小不同区别很大，不过目前预测的宇宙寿命大概还有200多亿年，所以宇宙的总寿命约为400亿年。（译注）

[12]出自R.柯朗，《希尔伯特轶事全集》——这部著作从未正式出版，甚至没有真正写下来过，但却广为流传。

[13]这里的所有小数都小于1，因为我们假设这条线的长度为1。

[14]比如说，0.735106822548312……

可以分割成

0.71853……

0.30241……

0.56282……