现在我们来做一点儿高级算术。2的平方等于4，3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25，因此4的算术平方根等于2，9的算术平方根是3，16的算术平方根是4，25的算术平方根是5。[25]

但负数的平方根又该是什么呢？和这样的式子有何意义？

若要寻找一个合理的解释，你会毫不犹豫地得出结论：上述数学式完全没有意义。用12世纪数学家布拉敏·婆什迦罗（BrahminBhaskara）的话来说：“正数的平方和负数的平方都是正数，因此正数的平方根有两个，其一为正，其二为负。负数没有平方根，因为任何数的平方都不会是负数。”

但数学家都是顽固的家伙，如果某种完全没有意义的东西反复出现在他们的方程里，他们就会想方设法赋予它意义。负数的平方根就是这么个讨厌的家伙，无论是在古代数学家苦苦思索的简单算术问题里，还是在20世纪相对论框架下时空统一的方程中，你总能看见它的身影。

第一位将看似无意义的负数平方根列入方程的勇者是16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Cardano）。当时他试图将数字10拆成两个部分，使二者的乘积等于40。卡尔达诺指出，尽管这个问题没有合理的解，但从数学上说，它的答案可以写成两个看似不可能的表达式：和。[26]

尽管卡尔达诺认为这两个式子没有意义，完全出于幻想和虚构，但他还是把它们写了下来。

既然有人不惮背负虚构之名，写下负数的平方根，那么将10拆分成两个乘积等于40的部分，这个问题也就有了解。“负数的平方根”这块坚冰被打破了，人们从卡尔达诺使用的修饰词中挑了一个来给这样的数命名，所以现在它被称为“虚数”（imaginarynumbers）。自从虚数诞生以后，数学家开始越来越频繁地使用这个概念，虽然在用的时候他们常常表现得顾虑重重，借口多多。1770年，著名德国数学家莱昂哈德·欧拉出版了一本代数学著作，虚数在这本书中得到了广泛的应用，但欧拉在书中留下了这样的附言：“诸如，之类的表达都是不可能的数，或称虚数。因为它们代表负数的平方根，对于这样的数，也许我们只能说，它们不是零，但并不比零大，也不比零小，所以它们完全是虚构出来的数，或者说不可能的数。”

尽管有这么多借口，但虚数还是迅速成为数学领域不可或缺的元素，就像分数和根式一样，要是不能使用虚数，你简直寸步难行。

我们可以说，虚数家族就像正常数字（或称实数）虚幻的镜像。所有实数都以数字1为基础，同样地，我们可以利用构建出所有虚数，这个基数通常记作i。

不难看出，；，以此类推，每个实数都有一个对应的虚数。你还能将实数和虚数结合到一个式子里，写成这样的形式。卡尔达诺发明的这种混合表达式通常被称为复数。

闯入数学王国后的两百多年里，虚数一直蒙着一层神秘的面纱，直到两位业余数学家赋予了它简单的几何意义，虚数才算得以正名。这两位先行者分别是挪威的测绘员韦塞尔（Wessel）和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈（RobertArgand）。

按照这两位数学家的解释，复数可以表达为图10所示的形式，比如说，3+4i代表坐标轴上的一个点，其中3是横坐标，4是纵坐标（垂直坐标）。

事实上，所有实数（无论正负）均可表达为水平轴上的一个点，与此同时，所有纯虚数均可表达为纵轴上的一个点。用横轴上的一个实数（例如3）乘以虚数基数i，我们可以得到一个纯虚数3i，它必然落在纵轴上。因此，从几何角度来说，用一个数乘以i，相当于让它对应的点在坐标轴内逆时针旋转90度。

现在，如果我们将3i再乘以一个i，那么这个点必然逆时针再转90度，于是它将重新回到横轴上，只是会落在负数那一侧。因此，

3i×i=3i2=3，或者说，i2=1。