前面我们讨论的拓扑学特性都基于各种面，也就是只有两个维度的亚空间；不过显然，对于所有人生活于其中的三维空间，我们也可以提出类似的问题。如此一来，三维空间中的地图上色问题可以这样表述：我们需要用材质和形状各不相同的原料块搭建一个“空间马赛克”，任意两个材质相同的原料块都不得有共同的接触面，那么我们至少需要多少种材质？

讨论上色问题的时候，对应球面或环面的三维空间应该是什么样的呢？我们能不能设想一些特殊的三维空间，它与正常空间的关系正好类似球面或环面与正常平面的关系？乍看之下，这个问题似乎很不合理。事实上，虽然我们能够轻松想出各种形状的面，但与此同时，我们却总觉得三维空间只有一种，即我们生活于其中的熟悉的物理空间。但这样的观念富有欺骗性，非常危险。只要发挥一点儿想象力，其实我们能够想出一些和教科书上介绍的欧氏空间很不一样的三维空间。

想象这类空间的困难主要在于，作为三维生物，我们只能“从里面”观察空间，而不能像研究特殊的面那样“从外面”观察。不过借助一些思维体操，我们可以不太困难地征服这些特殊空间。

我们先试着构建一个性质类似球面的三维空间模型。当然，球形面的主要特性在于有限无边界，它是一个封闭的面。那么我们能不能想象一个同样自我封闭、体积有限，但没有锐利边界的三维空间？不妨设想两个各自被自身球面所限制的球体，就像被果皮包起来的苹果。

接下来，再想象这两个球体“彼此重叠”，共享同一个外表面。当然，这并不是说我们能在现实生活中将两个球体（譬如两个苹果）挤成一个，让它们的表皮紧紧重叠在一起。苹果会被挤碎，但它们永远无法彼此穿透。

或许你更愿意设想一个被虫子蛀过的苹果，果皮内部的蛀洞形成了错综复杂的迷宫。假设虫子有两种，比如说一黑一白，它们痛恨彼此，所以这两种虫子在苹果内部蛀出的洞永远不会相交，哪怕它们在果皮上的起点正好相邻。被这两种虫子蛀过的苹果最后看起来应该和图18差不多，它的整个内部空间被两套彼此交缠但互不相干的隧道网络填得满满当当。不过，尽管黑白两色的隧道紧密相依，但若要从其中一个迷宫去往另一个，你必须先回到苹果的表面上。想象一下，如果这些隧道变得越来越细，数量越来越多，苹果的整个内部空间最终将变成两个彼此交缠，但只通过共同的表面相连的独立空间。